Herramientas básicas de Arena

Herramientas básicas de Arena

• Create : Este bloque genera entidades que llegan a un proceso de modelo, es decir, representa un punto de llegada a la entidad del proceso. 

• Process: Representa una actividad en el proceso.

• Batch: Representa un punto en el proceso donde las entidades se agrupan.

• Dispose: Representa un punto donde las entidades dejan el proceso.

• Decide: Representa un punto de decisión Verdadero / Falso en el proceso. Dentro de esta herramienta se cuenta con opciones para tomar decisiones basadas en una o más condiciones o probabilidades (por ejemplo, 75 % verdad; 25% falso).

• Entity: Define el tipo de entidad que fluye a través del proceso.

•  Queue: Define la regla de clasificación para una cola (es decir, la zona de espera) en el proceso.

• Resource: Define los recursos utilizados en las actividades del proceso

En este Ejemplo se muestra el proceso de una tienda que vende camisas y se muestran algunas herramientas básicas:

 

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Las pruebas de bondad de ajuste son aquellas que comparan los resultados de una muestra con los que se espera obtener cuando la hipótesis nula es verdadera. Estas tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución, la cual puede estar completamente especificada (hipótesis simple) o perteneciente a una clase para-métrica (hipótesis compuesta).

 PRUEBA DE X²(CHI-CUADRADA)

Es una prueba no paramétrica la cual se emplea tanto para distribuciones continuas como para las discretas. Esta se utiliza para encontrar la distribución de una serie de datos.  Utiliza la siguiente formula:

  

Donde x² es un valor de una variable aleatoria cuya distribución muestral se aproxima muy de cerca con v = k – 1 grados de libertad. Los símbolos O_i y E_i representan las frecuencias observadas y esperada, respectivamente, para la iésima celda.

Hipótesis:

H_o: la muestra se ajusta a una distribución teórica (esperado o modelo)

H₁: la muestra no se ajusta a una distribución teórica (esperado o modelado)

Procedimiento:

1.    Determinar el número de intervalos y partiendo del límite superior e inferior, y el tamaño del intervalo se calcula cada uno para los intervalos.

2.    Determinar la frecuencia observada por cada intervalo

3.  Hallar la frecuencia relativa esperada acumulada teniendo en cuenta la función de distribución a utilizar, el límite superior,  la media y desviación.

4.    Hallar la frecuencia relativa esperada restando la frecuencia relativa esperada acumulada con el dato anterior de la frecuencia dentro de la columna.

5.    Hallar la frecuencia observada esperada (FOE) multiplicando la frecuencia relativa esperada con la suma de los datos de la frecuencia observada.

6.    Calcular el estimador a partir de la fórmula de chi-cuadrado

7.    Se suman los datos calculados en el paso anterior

8.    Se determinan los grados de libertad (V) restando el número de intervalos con 1 y teniendo en cuenta la suma anterior se busca en la siguiente tabla:

9.    Si el estimador S2 es menor o igual al valor correspondiente en la tabla entonces se acepta H_o, en caso contrario se rechaza.

PRUEBA DE KOLMOGÓROV-SMIRNOV

Es una prueba no paramétrica la cual se emplea solo para distribuciones continuas. Esta tiene como objetivo encontrar el tipo de distribución de una serie de datos, se considera más eficiente que la prueba de chi-cuadrada debido a que trabaja con la distribución de probabilidad acumulada: la distribución acumulada de los datos observados y la distribución acumulada teórica correspondiente al modelo elegido.

Ventajas:

·         Es una prueba poderosa y fácil de utilizar, puesto que no requiere que los datos se agrupen de determinada manera.

·         Es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de frecuencias observada de la distribución de frecuencias esperada, porque la distribución de probabilidad D_n depende del tamaño de muestra n, pero es independiente de la distribución de frecuencia esperada (D_n es una estadística de distribución libre o desviación absoluta máxima entre las frecuencias observadas y teóricas).

Procedimiento:

1.    Identificar la muestra de la población a utilizar.

2.    Plantear la hipótesis para la muestra:

H_o, hipótesis nula.

H_i, hipótesis alternativa.

3.    Calcular la frecuencia observada de cada uno de los intervalos, luego se suman todas las frecuencias observadas.

4.    Calcular la frecuencia observada relativa (frecuencia observada de cada intervalo/la sumatoria total de la frecuencia observada).

5.    Luego se calcula las frecuencias observada relativa acumulada (FORA) y la frecuencia esperada relativa acumulada (FERA).

6.    Se calcula el Estadístico de Prueba (D) de cada intervalo con la siguiente formula:

D = ABS (FOR A_cum - FER A_cum)

7.    Se busca en la siguiente tabla de acuerdo al tamaño de la muestra y un alfa (α), el valor esperado:

n<40: se realiza el procedimiento normal.

n>40: se aplica la fórmula que se expone en la tabla.

8. Si el estimador de la prueba (D) es menor que el valor que se encontró en la tabla entonces se acepta la hipótesis Ho planteada, de lo contrario se rechaza.

Transformación Inversa

TRANSFORMACIÓN INVERSA

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios  r_i X (0,1). 

El método consiste en:

•   Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.
•   Calcular la función acumulada f(x).
•   Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)^-1.
•   Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios r_i X (0,1) en la función acumulada inversa.

El método de la transformada inversa también puede  emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1).

Ejemplo:

Práctica # 7:

Información tomada de:

 http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/63307/mod_resource/content/0/TP_Simulacion/clase_introductoria_simulacion.pdf

Distribución Exponencial

Distribución Exponencial

Este modelo suele utilizarse para variables que describen el tiempo hasta que se produce un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Este modelo depende de un único parámetro  α  que debe ser positivo:  α > 0. 

La función de distribución se obtiene integrando la de densidad y es de la forma:

Propiedades del modelo Exponencial

1. Su esperanza es α.
2. Su varianza es α².
3. Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20 años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para otro que tenga 60 años.
4. Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de  Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ.

Ejemplo:

Práctica # 8: SIMULACIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

-Generar 1000 números aleatorios con la siguiente distribución: f(x)=λе^-λx

Conclusión: En conclusión podemos decir que la distribución exponencial sirve para modelizar el tiempo que transcurre entre dos eventos independientes, y durante los cuales transcurren, por término medio, el mismo tiempo. 

En el histograma podemos observar que para los diferentes valores, la probabilidad se concentra en los primeros rangos de clase, son entre 0 y 0.5.

Referencia: http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_Terminados/Probabilidad/doc/Unidad%203/3.9.htm

Variables Continuas

Variables Continuas

¿Qué es una variable aleatoria?

Como se ha mencionado en las unidades precedentes, un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí.

Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores.

Variables aleatorias: discretas y continuas

Variable discreta: Pueden tomar valores numéricos específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas. Las variables aleatorias discretas que puede tomar un número ilimitado de valores.

Variable continua: Pueden tomar cualquier valor dentro de unrango continuo o en un intervalo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centímetros.

Ejemplo:

Práctica #7

-Generar 1000 valores pseudoaleatorios de ri para obtener los valores de Xi para: a=1 y b=6.

Referencia: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dyakubov/ESTAD_2008/Tema_10D_Ya.pdf

Método Montecarlo

Método Montecarlo

Historia: 

• Herramienta de investigación, que proviene del trabajo realizado en el desarrollo del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. 
• John Von Neumann, en los a˜nos 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulación para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica.

Características:

• ·         El método de Montecarlo permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.
• ·    Montecarlo y  su casino están relacionados con la simulación. La ruleta juego estrella de los casino, es uno de los aparatos mecánicos más sencillos que nos permite obtener números aleatorios para simular variables aleatorias.
• ·     Es un método NO determinista, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
• ·   Proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de números pseudoaleatorios en una computadora.

Ventajas y Desventajas

 Ventajas: 

1. Es un método directo y flexible.
2. Existe un amplio abanico de programas y lenguajes destinados a simular. 
3. Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la simulación permite obtener una aproximación.
4. La simulación nos permite formular condiciones extremas con riesgos nulos. La simulación no interfiere con el mundo real.
5. Permite experimentar. 
6. Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del problema. 
7. Mediante la simulación podemos “influir en el tiempo” de los procesos. 
8. La simulación permite resolver problemas que no tienen solución analítica. 

Desventajas: 

1. Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número de variables. 
2. La simulación no genera soluciones Optimas globales.
3. No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximación para unas condiciones iniciales.
4. Cada simulación es única, interviene el azar.

Ejemplo:

Práctica # 6

-Calcular el valor de pi por el método Montecarlo.

Referencia: https://www.uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mcoi/Tema4_guion.pdf