Transformación Inversa

TRANSFORMACIÓN INVERSA

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios  r_i X (0,1). 

El método consiste en:

•   Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.
•   Calcular la función acumulada f(x).
•   Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)^-1.
•   Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios r_i X (0,1) en la función acumulada inversa.

El método de la transformada inversa también puede  emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1).

Ejemplo:

Práctica # 7:

Información tomada de:

 http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/63307/mod_resource/content/0/TP_Simulacion/clase_introductoria_simulacion.pdf

Distribución Exponencial

Distribución Exponencial

Este modelo suele utilizarse para variables que describen el tiempo hasta que se produce un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Este modelo depende de un único parámetro  α  que debe ser positivo:  α > 0. 

La función de distribución se obtiene integrando la de densidad y es de la forma:

Propiedades del modelo Exponencial

1. Su esperanza es α.
2. Su varianza es α².
3. Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20 años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para otro que tenga 60 años.
4. Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de  Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ.

Ejemplo:

Práctica # 8: SIMULACIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

-Generar 1000 números aleatorios con la siguiente distribución: f(x)=λе^-λx

Conclusión: En conclusión podemos decir que la distribución exponencial sirve para modelizar el tiempo que transcurre entre dos eventos independientes, y durante los cuales transcurren, por término medio, el mismo tiempo. 

En el histograma podemos observar que para los diferentes valores, la probabilidad se concentra en los primeros rangos de clase, son entre 0 y 0.5.

Referencia: http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_Terminados/Probabilidad/doc/Unidad%203/3.9.htm

Variables Continuas

Variables Continuas

¿Qué es una variable aleatoria?

Como se ha mencionado en las unidades precedentes, un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí.

Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores.

Variables aleatorias: discretas y continuas

Variable discreta: Pueden tomar valores numéricos específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas. Las variables aleatorias discretas que puede tomar un número ilimitado de valores.

Variable continua: Pueden tomar cualquier valor dentro de unrango continuo o en un intervalo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centímetros.

Ejemplo:

Práctica #7

-Generar 1000 valores pseudoaleatorios de ri para obtener los valores de Xi para: a=1 y b=6.

Referencia: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dyakubov/ESTAD_2008/Tema_10D_Ya.pdf

Método Montecarlo

Método Montecarlo

Historia: 

• Herramienta de investigación, que proviene del trabajo realizado en el desarrollo del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. 
• John Von Neumann, en los a˜nos 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulación para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica.

Características:

• ·         El método de Montecarlo permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.
• ·    Montecarlo y  su casino están relacionados con la simulación. La ruleta juego estrella de los casino, es uno de los aparatos mecánicos más sencillos que nos permite obtener números aleatorios para simular variables aleatorias.
• ·     Es un método NO determinista, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
• ·   Proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de números pseudoaleatorios en una computadora.

Ventajas y Desventajas

 Ventajas: 

1. Es un método directo y flexible.
2. Existe un amplio abanico de programas y lenguajes destinados a simular. 
3. Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la simulación permite obtener una aproximación.
4. La simulación nos permite formular condiciones extremas con riesgos nulos. La simulación no interfiere con el mundo real.
5. Permite experimentar. 
6. Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del problema. 
7. Mediante la simulación podemos “influir en el tiempo” de los procesos. 
8. La simulación permite resolver problemas que no tienen solución analítica. 

Desventajas: 

1. Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número de variables. 
2. La simulación no genera soluciones Optimas globales.
3. No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximación para unas condiciones iniciales.
4. Cada simulación es única, interviene el azar.

Ejemplo:

Práctica # 6

-Calcular el valor de pi por el método Montecarlo.

Referencia: https://www.uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mcoi/Tema4_guion.pdf

Métodos Congruenciales

Métodos Congruenciales

Congruencial Mixto

Los generadores congruenciales lineales generan  una secuencia de numero pseudoaleatorios en la  cual el próximo número pseudoaleatorios es determinado a partir del numero generado, es decir el número pseudoaleatorios r_n+1 es derivado a partir del número pseudoaleatorios r_n  

Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de decurrencia es la siguiente:

_ri =( a + Cri) mod m

Donde:

_ro = la semilla del generador

a= el multiplicador 

c= constante aditiva 

m= el modulo 

Características:

• Uniformemente distribuidos
• Estadísticamente independientes
• Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2
• Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/2
• Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.

Ejemplo: Generar 5 números con el generador congruencial multiplicativo siguiente con la semilla ro= 47

Datos:

a	441
c	13
m	767
ro	47

Conclusión: Después de realizar los cálculos correspondientes en Excel, se comprueba que hipótesis de medias y varianza de aceptan.

Pruebas de Independencia

PRUEBAS DE INDEPENDENCIA

Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no dependan uno de otro. Para esto se propone la siguiente hipótesis:

Ho: ri- Independiente

Ho: ri-Dependiente

Existen varios métodos para realizar esta prueba:

• Prueba de póker
• Prueba de corridas arriba y abajo
• Prueba de corridas arriba y abajo de la media
• Prueba de la longitud de las corridas
• Prueba de distancia
• Prueba de series
• Prueba de huecos

-PRUEBA DE CORRIDAS

1. Clasificar cada número aleatorio con respecto al anterior, de acuerdo con: si(ri<= ri-1) ---- > ri= (-) o si (ri > ri-1)-----> ri= (+)
2. Calcular el número de corridas observadas (h). Una corrida se forma por un conjunto de números aleatorios consecutivos del mismo signo.
3. Calcular E(h) y V(h)
4. Calcular el estadístico z, si es menor que el valor crítico se acepta.

Ejemplo: